指数函数

x

(

t

)

=

a

e

k

t

{\displaystyle \scriptstyle x(t)=ae^{kt}}

满足线性微分方程：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \!\, \frac{dx}{dt} = kx}

则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：

x

(

0

)

=

a

.

{\displaystyle x(0)=a.\,}

对于

a

>

0

{\displaystyle \scriptstyle a>0}

微分方程可以使用分离变量法求解：

d

x

d

t

=

k

x

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}

⇒

d

x

x

=

k

d

t

{\displaystyle \Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt}

⇒

∫

d

x

x

=

∫

k

d

t

{\displaystyle \Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt}

⇒

ln

⁡

x

=

k

t

+

constant

.

{\displaystyle \Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.}

考虑到给定初值：

ln

⁡

x

=

k

t

+

ln

⁡

a

{\displaystyle \ln x=kt+\ln a\,}

⇒

x

=

a

e

k

t

{\displaystyle \Rightarrow x=ae^{kt}\,}

这种解法对于

a

≤

0

{\displaystyle \scriptstyle a\leq 0}

同样适用。

对于该增长模型的非线性变体，请参考Logistic函数。